小乐数学科普：数学如何得到越过性——译自Quanta Magazine

越过数包括闻明的例子，如e和π，但数学家花了几个世纪才意会它们。

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作者：David S. Richeson（量子杂志特约专栏作者，迪金森学院Dickinson College数学辅导） 2023-6-27

译者：zzllrr小乐（数学科普微信公众号）2023-6-28

1886年，数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）有一句名言：“天主我方创造了整数——其他一切都是东说念主的使命。”事实上，除了用来计数的数字除外，数学家还引入了新的数字集会，何况他们致力意会它们的性质。

尽管每种类型的数字都有其迷东说念主而复杂的历史，但今天它们都相配熟悉，以致于被教给学童。整数（Integer）即是正整数，加上负整数和零。有理数（rational number）是那些不错示意为整数商的有理数，举例 3、− 1/2 和 57/22。它们的十进制伸开要么断绝（− 1/2 = − 0.5），要么最终重叠（57/22 = 2.509090909...）。这意味着若是一个数字有十进制数字，何况永久不重叠，那即是极端的（irrational）。有理数和极端数共同组成了实数（real number）。高档学生学习复数（complex number），复数是由实数和虚数（imaginary number）组合而成的；举例：i=√−1。

一个数字集会，越过数（transcendentals），并不为东说念主所熟知。矛盾的是，这些数字既丰富又极难找到。它们的历史与一个困扰数学家几千年的问题交汇在一说念：只使用圆规和直尺，你能画出一个与给定圆面积调换的正方形吗？这个问题被称化圆为方（squaring the circle），惟有在代数的发明和对π（任何圆的周长与其直径的比值）有了更深刻的意会之后才智得到回话。

发现一组新数字意味着什么？今天i们说，生计在苟简公元前五世纪的梅塔蓬图姆（Metapontum）的希帕索斯（Hippasus）发现了极端数。事实上，他的发现是几何的，而不是算术的。他标明，不错找到两条线段，比如正方形的边和对角线，不成分红等长的部分。今天i们会说它们的长度不是互相的有理倍数。因为对角线是边长的√2倍，√2是极端的。

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不可能将正方形的边和对角线分红等长的部分。在这里，一个长度将边分红 10 个相配的部分，但对角线被分红 14 个相配的部分，还有一小部分剩余量。

就仅用圆规和直尺（古代的数学器具）可能的构造而言，若是i们从单元长度的线段运行，则不错构造具有任何正有理长度的线段。然而，i们也不错构造一些极端长度。举例，i们一经看到了如何制作√2；另一个闻明的极端数，黄金比例，(1+√5)/2，是边长为 1 的正五边形的对角线长度。

在希腊东说念主初次提倡化圆为方问题苟简 2000 年后，勒内·笛卡尔（René Descartes）应用了新的代数本领，在他 1637 年的论文《La Géométrie（几何）》 中标明，可构造的长度恰是那些不错用整数及加法、减法、乘法、除法和当年根的辩论等运算来示意的长度。请细心，通盘正有理数都有这种表情，就像√2和黄金比例。若是π不错这么写，它最终会让几何学家化圆为方 - 但π并辞谢易分类。

在接下来的200年里，代数显贵老练，1837年，一位名叫皮埃尔·旺泽尔（Pierre Wantzel）的鲜为东说念主知的法国数学家将可构造数（constructible number）与多项式（polynomial）筹商起来——多项式——波及变量多样幂的数学抒发式。止境是，他阐发了若是长度是可构造的，那么它也必须是某种类型（不成进一步理解或简化）的多项式的根（使多项式为零的值），何况其次数（x的最大指数）是2的幂（如2，4，8，16等）。

举例，√2和黄金比例是可构造的，它们辩别是多项式x²–2和x²–x–1的根。另一方面∛2是 3 次多项式x³–2的根，这不妥贴条目，因此不可能构建这种长度的分段。

旺泽尔用他的放肆来不断其他经典问题，阐发它们无法不断——不可能将某些角度三均分，不可能将立方体加倍（倍积立方），也不可能构造某些正多边形。但由于π的真正性质仍然是个谜，因此化圆为方问题仍然悬而未决。

事实阐发，不断这个问题的重要是私密地将复数集分红两组，就像前几代东说念主将实数分为有理数和极端数雷同。许多复数是一些具有整数所有这个词的多项式的根；数学家称这些数字为代数数（algebraic）。但并非所罕有字都是如斯，这些非代数的值称为越过数（transcendental）。

每个有理数都是代数数，一些极端数亦然代数数，比如∛2。即使是虚数i，亦然代数数，因为它是x²+1的根。

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此图显现了多样数字之间的关系。极端数是任何非有理数的实数，越过数是任何非代数数的复数。

越过数的势必存在并不彰着。此外，阐发给定的数字是越过数具有挑战性，因为它需要阐发一个狡辩白断：它不是任何具有整数所有这个词的多项式的根。

1844年，约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）通过波折不断问题找到了第一个（越过数）。他发现极端代数数不成用有理数很好地访佛。因此，若是他能找到一个用小分母的分数访佛的数字，那一定是别的东西：一个越过数。然后他构建了这么一个数字。

刘维尔制造的数字，L=0.1100010000000000000000010...，仅包含 0 和 1，其中 1 出刻下某些指定位置（n!的值）。是以第一个 1 在第一 （1！）位 ，第二个1在第二（2！） 位，第三个1在第六（3！）位，以此类推。请细心，由于他的用心构造，1/10、11/100 和 110001/1000000 都是 L 的相配好的访佛值——比给定分母大小所盼望的要好。举例，这些值中的第三个值有 3！（六位）一丝位，0.110001，而共有23（4!−1）位与L一致。

尽管数字L阐发了越过数的存在，但π并不得志刘维尔的程序（它不成用有理数很好地访佛），是以它的分类仍然难以捉摸。

重要的冲破发生在1873年，那时查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）想象了一种私密的本领来阐发当然对数的底数e是越过数。这是第一个非东说念主为的越过数，九年后，它使得费迪南德·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）实践埃尔米特的本领，以阐发π是越过数。事实上，他走得更远，阐发了当 d 黑白零代数数时，eᵈ是越过数。改写一下，这是说若是eᵈ是代数数，那么d要么是零，要么是越过数。

为了阐发π是越过的，林德曼随后应用了许多东说念主合计是全部数学中最美艳的公式，即欧拉恒等式：e^(πi)=-1。因为 -1 是代数数，林德曼定理指出：πi是越过数。因为i是代数数，π必须是越过数。因此，长度π是不可能构造的，因此不可能化圆为方。

固然林德曼的放肆是一个故事的终了，但这仅仅越过数故事的早期篇章。还有好多使命要作念，止境是，正如咱们将看到的，这些不对群的数字是何等深广。

在埃尔米特阐发e是越过数之后不久，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）阐发了无限有不同的大小。有理数的无限与整数的无限调换。这么的集会被称为可数无限（countably infinite）。然而，实数和极端数的集会更大；从某种真义上说，康托尔精准地说，它们是“不可数的”（uncountably）无限。在团结篇论文中，康托尔阐发，尽管代数数的集会包含通盘有理数和无限多个极端数，但它仍然是较小、可数的无限。因此，它的补集，即越过数，是不可数无限的。换句话说，绝大多量实数和复数都是越过的。

关联词，即使在20世纪之交，数学家也只可最终笃定少数几个。1900年，那时最受尊敬的数学家之一大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出了数学中最伏击的23个未不断的问题。他的第七个问题，他合计是更难的问题之一，是阐发当a是不等于0或 1的代数数，何况b是代数极端数时，aᵇ是越过数。

1929年，年青的俄罗斯数学家亚历山大·盖尔范德（Aleksandr Gelfond）阐发了一个特例：b=±i√r和r是一个正有理数。这也意味着e^π是越过数，这很令东说念主讶异，因为e和π都不是定理所要求的代数数。关联词，通过再次私密地垄断欧拉恒等式，咱们看到

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不久之后，卡尔·西格尔（Carl Siegel）实践了盖尔范德的阐发，包括b的值，这些值是实二次极端数，使他得出论断：2^√2是越过数。1934年，盖尔范德和西奥多·施耐德（Theodor Schneider）孤独时十足不断了希尔伯特的这个问题。

越过数论的酌量仍在不时。在1960年代中期，艾伦·贝克（Alan Baker）发表了一系列著作，笼统了Hermite，Lindemann，Gelfond，Schneider等东说念主的放肆，对代数数和越过数有了更深刻的意会，由于他的致力，他在1970年赢得了菲尔兹奖，那时他31岁。这项使命的一个恶果是阐发了某些放肆，如2^√2 × 2^∛2和2^√2 × 2^√3都是越过数。除了扩张咱们对数自己的意会外，他的使命还应用于通盘这个词数论。

今天，对于越过数的灵通问题比比齐是，何况有许多特定的，看起来相配越过的数字，其分类仍然未知：eπ，e+π，e^e，π^π和π^e，仅举这几例。正如数学家爱德华·蒂奇马什（Edward Titchmarsh）所说的π的极端性雷同，知说念这些数字是越过的可能莫得内容用处，但若是咱们不错知说念，不知说念折服是无法容忍的。

参考贵寓

https://www.quantamagazine.org/recounting-the-history-of-maths-transcendental-numbers-20230627/

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